MATHÉMATIQUES
La conjecture de modularité de Serre démontrée

mathématiques - par Propos recueillis par Philippe Pajot dans mensuel n°442 daté juin 2010 à la page 18 (524 mots) | Gratuit
Un tour de force de deux mathématiciens a permis la démonstration d'une conjecture mêlant de manière précise fonctions analytiques et théorie des groupes.

Qu'est ce que la conjecture de modularité de Serre ?

J.-P.W. Jean-Pierre Serre a formulé sa conjecture de modularité sous sa forme première au début des années 1970. Elle établit des liens précis et profonds entre deux objets mathématiques de nature très différente : les formes modulaires, qui sont des fonctions issues de l'analyse, d'une part, et les représentations galoisiennes modulaires, des structures algébriques, de l'autre. Les formes modulaires sont des fonctions qui servent à classifier les différentes courbes elliptiques des courbes définies par des fonctions cubiques en x et y telle que y 2 + y = x 3 - x 2. Les formes modulaires ont beaucoup de symétries, ce qui permet d'énumérer les courbes elliptiques de manière précise. Les représentations galoisiennes modulaires tirent leur nom de leurs liens avec l'arithmétique modulaire, branche de l'arithmétique qui ne travaille pas sur les nombres entiers eux-mêmes, mais sur le reste de leur division par quelque chose.

Comment est née cette conjecture ?

J.-P.W. Faire une conjecture est toujours un pari. Serre a hésité une dizaine d'années entre la première idée de cette conjecture, en 1972 dans une lettre à John Tate, et la publication de sa forme définitive, en 1987. Entre-temps, il avait demandé à Jean-François Mestre d'effectuer des vérifications numériques sur des cas particuliers. Des vérifications qui l'ont conforté dans l'idée que cette conjecture était vraie, moyennant quelques corrections mineures. Les représentations galoisiennes utilisées dans sa conjecture sont une manière de représenter des groupes de Galois à l'aide de matrices de deux lignes et deux colonnes à coefficients dans des corps finis.

Quelles sont les implications de la conjecture ?

J.-P.W. Il existe deux formes de la conjecture de Serre : une forme qualitative, énoncée en premier, et une forme forte - celle qui a été publiée en 1987 -, qui précise le lien entre la forme modulaire et la représentation galoisienne. De nombreux mathématiciens ont participé à la preuve que la forme qualitative impliquait la forme forte. C'est un grand théorème qui a été un point clé dans la démonstration du théorème de Fermat ! D'ailleurs, dès 1987, Serre avait mentionné que sa conjecture impliquait le théorème de Fermat. Mais, à l'époque, on ignorait comment attaquer la conjecture de Serre.

Comment en êtes-vous arrivé à vous intéresser à ce problème ?

J.-P.W. En 2002, je travaillais sur un problème d'arithmétique que j'ai abandonné car je n'en voyais pas l'issue. Un échec utile, car les outils que j'avais mis au point pour attaquer ce problème me permettaient de démontrer un petit morceau de la conjecture de Serre. J'ai invité à Strasbourg le mathématicien indien Chandrashekhar Khare, rencontré à Bombay, et dont je savais qu'il connaissait ces choses-là. Nous avons compris que nos progrès respectifs sur la conjecture étaient complémentaires. En un mois, nous avons publié notre premier article sur des cas particuliers. C'était très agréable, car on savait qu'on ne travaillait pas pour rien. Le dernier article que nous avons publié ensemble en 2009 est l'aboutissement de ces années de travail [1] .

Par Propos recueillis par Philippe Pajot

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MATHÉMATIQUES
Trois dimensions pour une fractale

mathématiques - par Propos recueillis par Mathieu Nowak dans mensuel n°438 daté février 2010 à la page 18 (614 mots) | Gratuit
Les fractales sont devenues un outil d'étude et de modélisation important en physique mais elles restent aussi des objets mathématiques mystérieux. Leur histoire se confond avec celle de leur représentation. Pour la première fois, une image tridimensionnelle de l'« ensemble de Mandelbrot » a été publiée.

La première image tridimensionnelle d'un des plus célèbres types de fractales vient d'être révélée [1]. Que vous inspire-t-elle ?

J.-F.C. C'est l'image la plus intéressante que j'ai vue ces dernières années, esthétiquement parlant. Elle évoque des objets que l'on observe dans la nature ou en microscopie électronique. Cela ne veut pas dire pour autant que les processus en oeuvre pour obtenir l'image sont des processus « naturels ». La géométrie fractale nous avait déjà permis d'obtenir des images ressemblant beaucoup à des montagnes ou à des nuages, mais les mécanismes permettant de les obtenir n'avaient rien à voir avec ceux qui façonnent la nature. Il y a une telle richesse morphologique dans ces images qu'on peut y voir un peu ce que l'on veut - un peu comme avec les taches d'encre du test de Rorschach.

Pourquoi est-il difficile d'obtenir une image de ce genre ?

J.-F.C. La géométrie de ces « nouveaux » ensembles de Mandelbrot est très complexe : on applique de façon itérative une fonction aux points de l'espace lire l'encadré et on aboutit à des trous, des canaux, etc. La forme des objets est a priori inconnue. On les reconstruit à partir de chiffres : un ensemble de points qu'il faut relier entre eux. Puis on doit choisir une source lumineuse pour distinguer les détails. C'est difficile comme il est difficile de donner une bonne représentation de l'intérieur d'un morceau de gruyère.

Y a-t-il une difficulté intrinsèque à la troisième dimension ?

J.-F.C. Oui, les mathématiciens voudraient avoir des nombres pour « étiqueter » les points de l'espace, de même que les nombres réels sont des « étiquettes » pour les points de la droite et les nombres complexes des « étiquettes » pour les points du plan. Pour cela l'idée est d'étendre les nombres complexes à trois dimensions. Mais cela pose des problèmes lors de la définition de produit de deux nombres.

Au XIXe siècle, le mathématicien et physicien irlandais William Hamilton a eu l'idée de passer à la quatrième dimension avec des nombres qu'il a baptisés « quaternions ». On peut ensuite « redescendre » d'une dimension en faisant des coupes. Mais les figures ainsi obtenues ne sont pas très intéressantes : en particulier, l'ensemble de Mandelbrot a un axe de symétrie et rappelle la forme d'une toupie.

Ici, les quaternions ont été mis de côté pour obtenir la troisième dimension directement ?

J.-F.C. Oui, Daniel White, un mathématicien amateur, a choisi une approche différente. Son idée a été de créer des « nombres en trois dimensions », c'est-à-dire des triplets de nombres réels. Les figures ainsi obtenues avaient cependant des zones très lisses et d'autres très tourmentées. Pour faire apparaître des détails partout, Paul Nylander, un autre amateur, a perfectionné le procédé d'itération en augmentant le degré des polynômes itérés au-delà de la puissance 2 - en particulier à la puissance 8. J'ai moi-même généralisé cette démarche aux quaternions.

N'est-ce pas surprenant que ces résultats soient obtenus par des amateurs ?

J.-F.C. Quand on fait de la recherche académique, on a tendance à ne pas s'éloigner des « bons nombres », comme les nombres complexes. Or ces nombres ne permettaient pas de faire les figures de la complexité voulue. Il fallait quelque chose de nouveau. Rien n'interdit d'appliquer une formule arbitraire à des triplets de nombres. Mais le cadre théorique dans lequel ces opérations s'inscrivent reste à inventer.

Par Propos recueillis par Mathieu Nowak

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MATHÉMATIQUES
Le calcul quantique à l'assaut des équations linéaires

mathématiques - par Propos recueillis par Mathieu Nowak dans mensuel n°437 daté janvier 2010 à la page 18 (542 mots) | Gratuit
L'ordinateur quantique n'existe pas encore mais il apprend à faire de plus en plus de choses : des scientifiques viennent d'inventer un nouvel algorithme qui lui permettra de résoudre des grands systèmes d'équations linéaires. Pour Julia Kempe, il s'agit d'une nouvelle piste sur un terrain encore inexploré.

Des scientifiques anglo-saxons ont dévoilé un algorithme quantique pour résoudre des systèmes d'équations linéaires [1]. Est-ce une première dans le domaine du calcul quantique ?

J.K. Oui, c'est la première fois que l'on trouve un algorithme qui permettra à un ordinateur quantique de s'attaquer à la résolution d'équations linéaires. Cette publication a eu un grand retentissement car on rencontre des équations linéaires dans beaucoup de domaines, par exemple dans le traitement d'images, en météorologie, en biologie, etc. Les auteurs ont montré que leur approche peut conduire dans certains cas à des temps de calcul beaucoup plus courts que ceux nécessaires en faisant appel à des méthodes classiques de résolution de systèmes d'équations linéaires.

Comment obtiennent-ils ce gain ?

J.K. De la même façon que Peter Shor a obtenu en 1994 un algorithme quantique pour factoriser un nombre. Dans un algorithme quantique, l'information n'est pas codée avec des « 0 » et des « 1 » comme en informatique classique, mais avec des bits quantiques, ou qubits, qui peuvent prendre simultanément ces deux valeurs. Ensuite, l'idée développée ici est que, dans la pratique, il n'est pas toujours nécessaire d'avoir des solutions complètes aux problèmes. Pour résoudre des équations linéaires à N inconnues, la durée du calcul est ainsi ramenée à une valeur environ proportionnelle au logarithme de N, alors qu'avec les méthodes classiques il est proportionnel à N . C'est une prouesse car on obtient le résultat avec moins d'opérations qu'il ne faut pour écrire l'ensemble des paramètres ! La contrepartie est que cet algorithme ne permet pas de décrire le système en intégralité.

Comment ces limitations se traduisent-elles concrètement ?

J.K. Pour faire les calculs, on manipule des matrices et des vecteurs. Il faut d'abord que le vecteur soit donné comme un état quantique lire l'encadré « Le vecteur quantique ». Ensuite, on ne s'intéresse pas au vecteur entier mais à une approximation de certaines de ses propriétés, comme la somme de ses valeurs. Enfin, la matrice doit être d'un type particulier, avec beaucoup de valeurs nulles. Les auteurs appliquent alors une combinaison originale de méthodes déjà éprouvées dans le calcul quantique.

Dans quel contexte ce résultat s'inscrit-il ?

J.K. Les algorithmes dédiés au calcul quantique restent peu nombreux. Le plus célèbre est celui de Peter Shor, car il a remis en question toutes les méthodes actuelles de cryptographie - et il a déjà plus de 15 ans. En parallèle, d'autres chercheurs travaillent sur ce qu'on appelle la théorie de la complexité : ils cherchent à mettre en évidence ce qu'un ordinateur quantique ne saura jamais faire. Leurs travaux permettront de déterminer les bonnes approches en matière de sécurité pour la cryptographie.

On a besoin de nouveaux algorithmes. Plusieurs équipes tentent d'en mettre au point. Celui-ci, pour la résolution d'équations linéaires, n'est certes pas directement applicable en l'état mais il ouvre une porte pour des recherches à venir. Cela dit, quand on parle de calcul quantique, il faut avant tout garder à l'esprit que l'ordinateur quantique n'existe pas encore !

Par Propos recueillis par Mathieu Nowak

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MATHÉMATIQUES
Le cap des mille milliards est franchi

mathématiques - par Propos recueillis par Mathieu Nowak dans mensuel n°436 daté décembre 2009 à la page 18 (603 mots) | Gratuit
Le plus grand nombre congruent jamais calculé dépasse la barre symbolique de mille milliards. Sa découverte est un exploit technique, mais aussi une confirmation d'anciennes conjectures.

Une équipe internationale déclare avoir calculé trois milliards de nouveaux nombres congruents. Quelle importance accorder à ce résultat ?

J.-F.M. C'est un tour de force informatique. La question des nombres congruents est ancienne : elle a plus de 1 000 ans. Elle consiste à trouver les nombres entiers qui sont l'aire d'un triangle rectangle dont les côtés sont des fractions. Jusqu'aux années 1980, elle n'a pas été approfondie car il n'y avait pas d'armes pour s'y attaquer. Ce n'est qu'en 1982 que l'Américain Jerrold Tunnell a établi un critère simple permettant de savoir « facilement » si un nombre est congruent ou non. Le Canadien Michael Rubinstein a exploité cette méthode pour arriver à des nombres de cent millions de chiffres. C'était le seuil sur lequel on butait jusqu'à présent. Les plus grands des 3 148 379 694 nombres qui viennent d'être découverts dépassent le cap des mille milliards [1] .

Quel est l'enjeu de la recherche de ces nombres ?

J.-F.M. La première motivation est de battre un record. Les techniques pour obtenir les nombres congruents sont au point depuis longtemps ; tout le problème est de les mettre en oeuvre ! Cela permet aussi de vérifier des prédictions sur la répartition des nombres congruents. De même qu'avec les nombres premiers, on s'intéresse à la question : combien y a-t-il de nombres congruents inférieurs à une valeur donnée ? Le mathématicien sud-africain Peter Sarnak a introduit dans les années 1990 des méthodes statistiques issues de la physique pour prédire, via des propriétés des courbes elliptiques, la densité des nombres congruents. On vient de vérifier qu'il y en a bien un peu plus de 3 milliards jusqu'à 1012. Il en resterait 800 milliards jusqu'à 1016 !

Comment procède-t-on pour les trouver ?

J.-F.M. On se sert de la technique mise au point par Jerrold Tunnell qui revient à multiplier deux polynômes dont on connaît les coefficients. Cette approche provient d'un mélange de deux grands résultats. D'abord, on ramène le problème à une question sur les courbes elliptiques, elle-même liée à la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer lire ci-dessus, qui est l'un des grands « problèmes du millénaire » pour la résolution desquels l'institut Clay offrira un million de dollars. Ensuite, selon un théorème dû au mathématicien français Jean-Loup Waldspurger, on peut associer une courbe à une série entière, c'est-à-dire un polynôme infini. Ce sont les coefficients de ce polynômes qui interviennent dans le calcul.

Est-ce la taille des nombres qui rend ce calcul difficile ?

J.-F.M. Pour multiplier deux polynômes de degré n de façon classique, c'est-à-dire terme à terme, il faut faire n 2 opérations élémentaires. Le temps de calcul devient excessivement long lorsque n est grand. C'est pourquoi on fait appel à un algorithme développé dans les années 1970, la « transformée de Fourier rapide » FFT. La méthode est plus difficile car elle fait intervenir les nombres complexes, mais le nombre de calculs est approximativement proportionnel à n.

Reste encore un problème : s'intéresser au coefficient d'un polynôme de degré n revient ici à manipuler et stocker des téraoctets 1012 octets. Aussi, on ne travaille pas sur les nombres dans leur intégralité mais on les décompose en nombres premiers et on fait les multiplications sur ces nombres premiers. Ensuite, le « théorème chinois » nous dit que si l'on connaît un entier par sa factorisation en nombres premiers, alors on peut reconstituer le nombre de façon unique. Les chercheurs ont ici travaillé avec les 500 premiers nombres premiers.

Par Propos recueillis par Mathieu Nowak

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