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ESPACES COURBES

 

ESPACES COURBES


La notion d'espace (intrinsèquement) courbe a mis beaucoup de temps avant de s'imposer. Pour la définir il convient de dépasser le premier modèle de géométrie systématiquement développée qu'est la géométrie d'Euclide. De ce point de vue, l'émergence au début du XIXe siècle des géométries non-euclidiennes a joué un rôle déterminant, qui a été encore amplifié par l'oeuvre révolutionnaire de Bernhard Riemann en 1854. Ce contexte mathématiquement riche sera complété par la reconnaissance par Albert Einstein qu'il pouvait servir de cadre à sa théorie de la Relativité Générale, qui identifie les effets gravitationnels à la courbure de l'espace. Le sujet n'a cessé de se développer tout au long du XXe siècle, avec notamment la recherche de conséquences sur la topologie globale de l'espace d'hypothèses sur la courbure vérifiée en chaque point sur la topologie globale de l'espace. A partir des années 1970 la considération systématique d'espaces moins réguliers a été un important moteur de la recherche, ce qui a permis l'émergence de modèles plus généraux, utilisés tant en informatique que dans l'étude de l'espace des couleurs, un sujet classique chez les mathématiciens mais peu connu du grand public. Le concept d'espace courbe a aussi fasciné certains artistes dont certaines oeuvres proposent des promenades dans les espaces courbes. inertes.

 

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UN ALGORITHME DE CHIFFREMENT ...

 


MATHÉMATIQUES
Le calcul en toute discrétion


mathématiques - par Propos recueillis par Mathieu Nowak dans mensuel n°434 daté octobre 2009 à la page 18 (627 mots) | Gratuit
On a longtemps cru que ce serait impossible. Or un scientifique d'IBM vient de concevoir un algorithme de chiffrement qui offre la possibilité de faire des calculs arbitraires sur des données chiffrées. À l'avenir, des informations sensibles pourraient ainsi être traitées à distance.

Craig Gentry, d'IBM, vient de proposer un système de chiffrement « complètement homomorphe » [1]. De quoi s'agit-il ?

P.N. La question a été formulée il y a une trentaine d'années, peu après l'invention de RSA, l'algorithme à clé publique le plus répandu à ce jour pour signer ou chiffrer des documents. Ron Rivest, Leonard Adleman les R et A du RSA et Michael Dertouzos ont montré l'intérêt de trouver des systèmes de chiffrement pour lesquels on peut effectuer des opérations sur des données chiffrées sans connaître la clé secrète, donc sans déchiffrer. Lorsqu'on déchiffre le résultat de l'opération, c'est bien le même que si on avait mené les calculs sur les données brutes : par exemple, si on chiffre séparément deux nombres a et b en a' et b' , n'importe qui peut alors obtenir un chiffrement de a + b à partir uniquement des chiffrés a' et b' , sans déchiffrer ni a' ni b' . On connaissait déjà des systèmes de chiffrement homomorphes, mais ils n'étaient que partiels, ne permettant de faire qu'un seul type d'opération : soit des additions, soit des multiplications. Ce système de chiffrement « complètement homomorphe » permet lui de faire les deux.

En quoi cette propriété est-elle utile ?

P.N. Une application du chiffrement homomorphe pour l'addition est le vote électronique : chaque vote est chiffré mais seule la « somme » est déchiffrée. Avec un chiffrement « complètement homomorphe », on pourrait faire bien plus, comme appliquer un filtre antispam ou faire de la recherche par mot clé sur des courriers électroniques chiffrés. Plus généralement, on pourrait sous-traiter des calculs à des machines distantes - on parle de cloud computing - sur des données confidentielles.

Pourquoi ce résultat était-il si difficile à obtenir ?

P.N. Proposer des nouveaux systèmes de chiffrement est difficile, et si l'on veut avoir des propriétés particulières, la tâche se complique encore. Ici, Craig Gentry a remarqué qu'en modifiant le cryptosystème NTRU, inventé en 1996 lire « La cryptographie à base de réseaux », ci-contre, on pouvait le rendre homomorphe, mais avec un nombre d'opérations limité.

Pour chiffrer un message, l'idée est d'y ajouter un peu de bruit, c'est-à-dire des petites erreurs. La clé secrète permet de supprimer ce bruit, à condition qu'il ne soit pas trop gros. Quand on additionne ou que l'on multiplie des textes chiffrés, les bruits vont grossir. On ne pourra déchiffrer le message que si les bruits initiaux sont choisis très petits. Et, dans un deuxième temps, pour dépasser cette limitation sur le nombre d'opérations, Craig Gentry a montré que, si le déchiffrement était suffisamment efficace, on pouvait alors recourir à une astuce élégante : changer de clé publique pour réduire le bruit. On commence par utiliser une première clé, puis, quand le bruit devient trop important, on utilise une seconde clé pour rechiffrer le même message. Cette idée n'est donc pas limitée à la cryptographie à base de réseaux.

La solution est-elle applicable immédiatement ?

P.N. Non, l'inconvénient est que lorsqu'on rend le cryptosystème NTRU homomorphe, on le rend moins sûr : plus on ajoute de propriétés, plus on l'affaiblit. On est, du coup, obligé d'utiliser des clés beaucoup plus grosses, ce qui rend le système moins efficace. Si l'on veut faire beaucoup d'opérations sur les textes chiffrés, les calculs deviennent très lourds. Craig Gentry a montré qu'il existait un cryptosystème complètement homomorphe en théorie, mais il reste encore beaucoup de travail pour le rendre efficace. Il est trop tôt pour dire si le système sera un jour utilisable et s'il résistera aux attaques.

Par Propos recueillis par Mathieu Nowak


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UN TEST NON MANIPULABLE

 


MATHÉMATIQUES
Un test non manipulable


mathématiques - par Benoît Rittaud dans mensuel n°432 daté juillet 2009 à la page 28 (564 mots) | Gratuit
Quel est l'effet d'un médicament ? Pour le savoir, on utilise des modèles de description des phénomènes, dont la fiabilité est vérifiée par des tests statistiques. Mais ces tests sont-ils eux-mêmes fiables ?

L'effet d'un médicament, la météo des prochains jours, ou encore l'évolution de la conjoncture économique sont des situations que l'on décrit souvent à l'aide de modèles qui, sans prétendre prévoir exactement ce qui va se passer, proposent une lecture probabiliste de l'avenir : « Il y a 70 % de chances pour que ce médicament permette de guérir », « il y a 4 chances sur 5 pour qu'il fasse beau demain », etc. Pour contrôler la pertinence de ce genre de pronostics, on les confronte à des tests statistiques : si le modèle passe le test avec succès, notre confiance en ce modèle en sortira renforcée. Mais un réel problème est de savoir si le test est bien adapté. En effet, certains tests sont « manipulables » : ils attesteront de la qualité d'un modèle alors que celui-ci, dans le cas général, ne donnera pas des résultats satisfaisants. Wojciech Olszewski et Alvaro Sandroni, de l'université de Pennsylvanie, ont conçu un test pour éviter ce problème [1] .

Un test statistique qui doit juger d'un modèle a deux manières de se tromper : il peut soit rejeter indûment un bon modèle, soit accepter indûment un mauvais modèle. En pratique, ces deux erreurs doivent être distinguées : par exemple, il est en général moins grave de soigner un patient en bonne santé que de ne pas soigner un malade. On préfère donc les tests qui valident plus souvent le modèle qu'ils ne le devraient. Cette « indulgence » a priori des tests statistiques peut se révéler excessive, d'autant plus que l'auteur d'un modèle peut facilement avoir tendance, consciemment ou pas, à vouloir le « sauver » en faisant en sorte qu'il ne soit pas mis en défaut par des tests statistiques. À l'extrême, il peut concevoir un modèle qui ne reflète en rien les données réelles mais qui ne soit que capable de réussir les tests. Voilà pourquoi, depuis quelques années, les statisticiens se penchent de plus en plus sur ce problème et sur des cas explicites de tests manipulables.

Le test proposé par les deux chercheurs fonctionne de la manière suivante. Imaginons que les observations consistent en une suite de nombres entiers entre 0 et 9, formée d'une manière dont nous ignorons les ressorts mais pour laquelle nous disposons d'un modèle à tester. Une telle suite peut être vue comme un nombre entre zéro et un écrit en base dix on ajoute un zéro et une virgule devant le nombre, si bien que l'on peut représenter l'ensemble des suites possibles par un segment. Le test définit un ensemble de points du segment à partir des données observationnelles. Le modèle à tester, quant à lui, propose un ensemble de points du segment qui constituent ses pronostics pour l'avenir. Si l'ensemble des points du modèle et celui du test sont en bon accord, alors le test est positif, sinon il est négatif. L'ensemble de points du test, construit à partir d'une « suite dense » c'est-à-dire, en gros, une liste de points qui se répartissent un peu partout dans le segment et de considérations topologiques, possède deux propriétés essentielles : il permet au test de valider un bon modèle, mais détecte presque à coup sûr un modèle uniquement conçu pour déjouer les statistiques.

Par Benoît Rittaud

 

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PROMENADES SUR LE QUART DE PLAN

 


MATHÉMATIQUES
Promenades sur le quart de plan


mathématiques - par Propos recueillis par Philippe Pajot dans mensuel n°462 daté mars 2012 à la page 18 (618 mots) | Gratuit
Utilisant des outils issus des probabilités et de l'analyse complexe, des mathématiciens ont fait le lien entre le type de sauts et la nature des chemins sur un réseau confiné à un quart du plan.

Vous étudiez des chemins sur un plan quadrillé. Qu'avez-vous montré à leur propos ?

K.R. On se place sur un plan quadrillé, l'analogue d'une feuille à petits carreaux, et on étudie les chemins qui vont d'un point à un autre du quadrillage en suivant certaines « règles ». La règle consiste par exemple à se déplacer d'une unité à la fois dans l'une des directions suivantes : est, ouest, nord-ouest, sud-ouest. Ces déplacements autorisés forment ce qu'on nomme un « espace de saut ». Et pour un espace de saut donné, on peut tracer une infinité de chemins. Combien de chemins passent tant de fois à tel endroit en un nombre donné d'étapes ? Combien partent de l'origine et y reviennent ? Telles sont les questions que l'on peut se poser. Plus généralement, comment caractériser tous les chemins possibles pour un espace de saut donné ? Le bon outil pour cette caractérisation est une fonction à plusieurs variables baptisée « fonction de comptage ». Ce que nous avons fait, c'est caractériser la fonction de comptage associée à tous les « petits » espaces de saut possibles voir la figure et en se restreignant au quart de plan. Autrement dit, notre travail a permis de relier de manière explicite l'espace de saut à la nature de chaque fonction de comptage.

Pourquoi travailler dans le quart de plan ?

K.R. Cette restriction aux chemins qui sont confinés dans un quart de plan peut sembler artificielle. En fait, elle intéresse énormément de monde en raison de ses applications. Ces chemins codent naturellement des objets connus en combinatoire, tels certains arbres ou certains tableaux, de sorte qu'en comprenant mieux ces chemins, on comprendra mieux ces objets. Par ailleurs, les études de ces chemins ont également des applications en biologie des populations lorsqu'on cherche à calculer des probabilités d'extinction ou de survie d'une population. Enfin, une grosse partie de la théorie des files d'attente à 2 dimensions, primordiale pour ses applications dans le domaine des télécommunications, est directement modélisée par des chemins dans un quart de plan.

Comment vous y êtes-vous pris ?

K.R. Nous avons développé des méthodes élaborées à partir des années 1970, notamment par Vadim Malyshev, qui avait été le patron de ma directrice de thèse, Irina Kourkova, à l'université de Moscou. Nous avons pu montrer que des groupes objets élémentaires de l'algèbre associés à l'espace des sauts permettaient de caractériser la fonction de comptage, de connaître sa nature, notamment de savoir si cette fonction est holonome ou non, une notion fondamentale en combinatoire lire « La nature des fonctions », ci-dessus. Autrement dit, c'est le groupe qui va gouverner la nature des chemins. Si le groupe associé à la fonction est fini, alors la fonction est holonome, et, si le groupe est infini, la fonction est non holonome [1] . Au final, sur les 79 espaces de saut possibles, 23 ont des groupes finis, et 56 ont des groupes infinis.

Peut-on étendre ce résultat ?

K.R. Pas à d'autres dimensions, du moins avec ces méthodes : nos outils sont essentiellement issus de l'analyse complexe, qui est surtout efficace à 2 dimensions. En revanche, on peut se poser d'autres questions sur ces chemins, notamment sur leur comportement asymptotique : que se passe-t-il lorsque la longueur d'un chemin tend vers l'infini ? Il reste beaucoup de conjectures sur ce type de question. De la même façon, on peut tenter de généraliser ces résultats à des espaces de saut différents, où on ne se contente pas de sauts vers les plus proches voisins par exemple.

Par Propos recueillis par Philippe Pajot

 

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