MATHÉMATIQUES
Un algorithme issu de la physique pour le traitement du signal

mathématiques - par Propos recueillis par Philippe Pajot dans mensuel n°461 daté février 2012 à la page 18 (546 mots) | Gratuit
L'acquisition comprimée permet de reconstituer un signal en enregistrant moins de données. Une percée spectaculaire réduit encore cette quantité de données en appliquant des méthodes issues de la physique statistique.

Vous qui êtes physicien, pourquoi travaillez-vous sur un problème de mathématiques ?

F.K. Il y trois ans, alors que j'étais en visite au laboratoire de Los Alamos, aux États-Unis, un collègue est venu me raconter comment, en multipliant un signal par des vecteurs aléatoires, on pouvait ensuite le reconstruire parfaitement avec moins de mesures que de données dans le signal. Il s'agissait de l'acquisition comprimée, cette technique découverte en 2004 et présentée comme une révolution en traitement du signal. Comme tout le monde, je n'y croyais pas au début : le fait que l'on puisse reconstruire un signal de cette façon me semblait absurde.

De retour à Paris, en y réfléchissant avec des collègues, nous nous sommes aperçus que prendre des mesures aléatoires ressemblait beaucoup à un problème connu : les méthodes pour modéliser les verres de spins que les physiciens étudiaient dans les années 1980 - pour modéliser ce qui se passe lorsque l'on met des impuretés de fer dans de l'or par exemple. Nous avons alors mis une équipe sur ce sujet pour voir ce que nous serions capables d'en dire. Notre résultat améliore la limite admise jusqu'ici pour la quantité de données nécessaires à la reconstruction d'un signal [1] .

Quelle a été votre approche ?

F.K. Le principe mathématique sous-jacent à l'acquisition comprimée consiste à trouver la solution la plus « économe » à un système d'équations linéaires où il y a plus d'inconnues que d'équations. Par plus économe - les mathématiciens disent « parcimonieuse »-, on entend une solution qui a le plus de valeurs nulles possibles. En pratique, on travaille sur une matrice, un tableau de chiffres correspondant au système d'équations. Dans la version habituelle, la matrice est aléatoire. Notre idée a été de mettre un peu de structure dans cette matrice. C'est l'analogue de la nucléation en physique : un liquide surfondu, maintenu à une température inférieure à sa température de congélation, cristallise brusquement lorsqu'on y déclenche une nucléation, en introduisant une impureté par exemple. Ici, la structure que nous avons incluse dans la matrice joue le rôle de la nucléation : la solution va se propager dans le système. C'est ainsi que nous avons obtenu un algorithme qui diminue encore le nombre de données minimales nécessaires à la reconstruction d'un signal lire « S'approcher de la limite », ci-dessus.

Comment a été reçu votre résultat ?

F.K. Devant l'efficacité de notre algorithme, l'excitation engendrée a été grande. Quelques mois à peine après que nos résultats ont été rendus publics, des mathématiciens démontraient rigoureusement la validité de notre approche numérique et analytique [2] . Mais il reste beaucoup à faire, notamment pour que cela soit utilisable dans des applications grand public. Je trouve intéressant qu'avec des idées bien connues en physique statistique on arrive à apporter un éclairage nouveau sur un problème de mathématique. Il y a une vraie communauté qui est en train de se créer à cette interface entre la physique statistique, l'optimisation et la théorie du signal. C'est très prometteur pour la suite : presque chaque jour un nouvel article est publié sur l'informatique abordée avec des outils issus de la physique statistique.

Par Propos recueillis par Philippe Pajot

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MATHÉMATIQUES
La perception géométrique innée

mathématiques - par Propos recueillis par Philippe Pajot dans mensuel n°455 daté septembre 2011 à la page 18 (624 mots) | Gratuit
Tous les êtres humains sont capables d'intuition en géométrie, quels que soient leur culture et leur niveau d'éducation. Démonstration avec des Indiens d'Amazonie

Quelle capacité mathématique avez-vous étudiée ?

V.I. Nous avons cherché à savoir si les intuitions géométriques sont universelles. Autrement dit, la géométrie élémentaire est-elle intuitive et indépendante de la culture et du niveau d'éducation ? La perception géométrique avait déjà été abordée sur ses aspects élémentaires, mais notre dernière idée a été d'aller au-delà de la simple perception visuelle. Par exemple, le parallélisme de deux segments de droite se voit sur un dessin. En revanche, la notion de droite parallèle infinie est une construction mentale qu'on ne peut dessiner. Ce type de concept - droite parallèle infinie - est-il universel ?

Comment tester cette universalité ?

V.I. Le linguiste Pierre Pica côtoyait les Indiens Mundurucus, tribu isolée d'Amazonie, depuis des années. Connaissant nos travaux en psychologie cognitive, il est venu voir notre équipe pour commencer une collaboration sur leurs capacités en mathématiques. Ce peuple n'a pas de mots pour désigner les nombres au-delà de 5. Mais nous avons montré que, bien que n'ayant pas de stratégie de comptage ni d'outils pour compter, ils parvenaient à faire des calculs approximatifs [1] . Plus récemment, nous avons abordé d'autres questions sur le lien entre les nombres et l'espace.

Comment aborder ces concepts s'ils n'ont pas de vocabulaire géométrique?

V.I. Grâce à des histoires imaginaires. Nous avons raconté à 22 adultes et 8 enfants âgés de 7 à 13 ans deux histoires correspondant à des mondes différents. La première se passait sur un plan, avec des gens qui habitent dans des villages avec des chemins droits qui ne s'arrêtent jamais. Dans la seconde histoire, nous leur avons demandé d'imaginer ces mêmes villages et chemins mais sur un monde rond sphérique selon notre désignation géométrique habituelle. Ensuite, nous les avons interrogés à l'aide de figures géométriques présentées sur un écran d'ordinateur. En particulier, le test comportait des questions sur le parallélisme, mais aussi sur les propriétés d'incidence des droites et des points. Combien de droites peut-on tracer passant par un point donné ? Combien de droites peuvent-elles se couper ? Nous avons également élaboré un second test, plus quantitatif, où il était demandé d'estimer des angles sur des triangles pour voir si leurs estimations vérifiaient la règle bien connue de la somme des trois angles d'un triangle, qui vaut 180° sur le plan et qui dépend de l'aire du triangle sur la sphère.

Quels ont été les résultats ?

V.I. Sur le plan, plus de 90 % des Indiens donnent la bonne réponse sur le premier test, ce qui équivaut aux réponses des Occidentaux soumis aux mêmes tests des enfants de 7 à 13 ans en France et des adultes au États-Unis. Sur le test quantitatif portant sur la sphère, les Indiens donnaient des angles plus grands et plus proches du bon résultat que les Occidentaux [2] . Ce résultat, au premier abord paradoxal, s'explique par le fait que la familiarité des Occidentaux avec la géométrie plane leur donne une stratégie qu'ils appliquent à tort au cas sphérique. Ces moins bonnes réponses des Occidentaux se voyaient surtout chez ceux qui avaient déjà étudié la géométrie.

Comment interpréter ces différentes réponses ?

V.I. Nous avons deux hypothèses : soit la géométrie est innée, préparée dans notre cerveau a priori, et cette capacité se fait jour au cours de l'enfance, vers 7 ans nous avons interrogé des enfants de 5-6 ans qui n'ont aucune familiarité avec la géométrie : ils font énormément d'erreurs. Soit ces intuitions résultent d'un apprentissage fondé sur des expériences communes à tous les êtres humains et qui se met en place vers 7 ans. Pour aller plus loin, il faudrait travailler sur l'animal. Mais comment tester la notion d'infini chez l'animal ?

Par Propos recueillis par Philippe Pajot

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MATHÉMATIQUES
Les fluides perdent la mémoire

mathématiques - par Propos recueillis par Philippe Pajot dans mensuel n°454 daté juillet 2011 à la page 18 (592 mots) | Gratuit
L'étude statistique des fluides nécessite que les systèmes étudiés ne dépendent pas de leur état initial. Cette hypothèse est maintenant justifiée mathématiquement sur plusieurs équations utilisées par les physiciens pour décrire des systèmes réels.

Qu'est ce que l'hypothèse ergodique ?

M.H. Imaginée par Ludwig Boltzmann à la fin du XIXe siècle pour les besoins de la physique statistique naissante, cette hypothèse stipule que, dans un gaz que l'on laisse évoluer, l'état observé après un temps suffisamment long ne dépend pas de l'état de départ. Autrement dit, un système ergodique perd la mémoire de sa condition initiale. Mathématiquement, cela revient à remplacer les moyennes temporelles par des moyennes d'ensemble.

Cette hypothèse est-elle importante en physique ?

M.H. Elle est fondamentale lorsque l'on souhaite décrire statistiquement un système physique, et pas seulement les gaz. Partant d'un système dans un état précis et qui évolue de manière plus ou moins déterministe, l'hypothèse ergodique permet de le décrire de manière statistique, en termes d'évolution de probabilités de l'état du système. Les physiciens font souvent cette hypothèse de manière implicite, mais sans justification mathématique. Nos travaux ont apporté cette justification dans plusieurs domaines, notamment des situations de transition de phase dans des alliages.

À quels systèmes vous êtes-vous intéressé ?

M.H. Nous avons d'abord voulu justifier cette hypothèse fondamentale dans un modèle simplifié de turbulence dans un fluide. Partant d'un fluide où l'on injectait de l'énergie à une longueur fixe de manière stationnaire - comme si on le remuait avec une cuillère de taille donnée -, nous voulions vérifier à quelle condition le système était ergodique. Pour cela, nous avons étudié la turbulence à l'aide de l'équation de Navier-Stokes, l'équation de base qui décrit le mouvement d'un fluide. Il s'agit d'une équation dissipative que nous avons restreint à la géométrie la plus simple que l'on puisse imaginer : le fluide est confiné à la surface d'un tore un tore est équivalent à un rectangle dont les bords sont joints deux à deux.

Qu'avez-vous démontré ?

M.H. Nous avons pu démontrer, ce qu'on suspectait depuis longtemps, que de manière générique, le système est ergodique [1] .

La seule situation où l'ergodicité disparaît, c'est lorsque l'injection d'énergie le « forçage » est périodique avec une période plus petite que la taille du système. Ce résultat, publié en 2006, a été bien reçu, d'autant que, dans la communauté qui travaille sur les équations aux dérivées partielles stochastiques, d'autres groupes essayaient de l'obtenir.

Qu'est-ce qui vous a permis de débloquer la situation ?

M.H. Il nous fallait notamment comprendre comment la force qui maintient le système dans un état turbulent se transmet dans tout le système. La difficulté est qu'on a une évolution dans un espace de dimension infinie l'espace de fonction de l'équation et qu'en mélangeant on introduit du hasard dans un nombre fini de directions. Nous avons donc dû comprendre comment cet aléa se transmet aux autres directions et établir mathématiquement le critère d'ergodicité lire « Équations dissipatives », ci-dessus.

À quels autres systèmes avez-vous étendu ce résultat ?

M.H. D'abord à la sphère, et à des géométries différentes. Puis nous avons montré que d'autres équations aux dérivées partielles dissipatives sont ergodiques. Récemment, nous y sommes parvenus pour les équations d'Allen-Cahn, qui décrivent la dynamique des transitions de phase dans les alliages métalliques [2] . En revanche, il n'est pas question d'attaquer les équations de Navier-Stokes tridimensionnelles, car ces équations sont si mal connues qu'on ignore même si leur solution est unique. C'est l'un des « problèmes du millénaire », pour la résolution desquels l'institut Clay a promis un million de dollars.

Par Propos recueillis par Philippe Pajot

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MATHÉMATIQUES

En additionnant les chiffres des nombres premiers
mathématiques - par Propos recueillis par Philippe Pajot dans mensuel n°444 daté septembre 2010 à la page 18 (570 mots) | Gratuit

Deux arithméticiens français ont répondu à une question posée en 1968 en prouvant qu'il y a en moyenne autant de nombres premiers dont la somme des chiffres décimaux est paire que de nombres premiers pour lesquels elle est impaire.

Christian Mauduit et Joël Rivat sont professeurs à l'université de la Méditerranée et travaillent dans l'équipe dynamique, arithmétique et combinatoire de l'institut de mathématiques de Luminy, à Marseille. Ils s'intéressent depuis plusieurs années aux propriétés des nombres premiers.

Pourquoi vous intéressez-vous aux nombres premiers ?

C.M.-J.R. Les nombres premiers - divisibles uniquement par 1 et par eux-mêmes - sont les briques élémentaires de l'arithmétique. Malgré cette définition simple, on ignore presque tout d'eux. On sait dire rapidement que 97, 311 ou 2011 sont des nombres premiers, c'est plus difficile pour de très grands nombres.

Quel problème avez-vous étudié ?

C.M.-J.R. Nous nous sommes intéressés aux propriétés de la somme des chiffres constituant les nombres premiers : existe-t-il autant de nombres premiers dont la somme des chiffres est paire que de nombres premiers dont la somme des chiffres est impaire ? Ce problème est simple à énoncer, mais sa résolution semblait un défi. Nous avons réussi à démontrer que la réponse à cette question est positive. C'est un cas particulier d'un problème énoncé en 1968 par le mathématicien russe Aleksandr Gelfond, et que nous avons aussi résolu : les sommes des chiffres des nombres premiers sont équiréparties dans les suites arithmétiques quelle que soit la base utilisée.

Depuis quand vous intéressez-vous à ce problème ?

C.M.-J.R. De nombreux mathématiciens avaient réfléchi à cette question de Gelfond. En 1996, l'un de nous Christian Mauduit avait déjà montré avec Étienne Fouvry qu'il y avait une infinité de nombres qui étaient soit premiers, soit produits d'au moins deux nombres premiers et dont la somme des chiffres était paire. Cela avait permis de mettre en place des outils que nous avons réutilisés.

Quelle méthode avez-vous utilisée ?

C.M.-J.R. Nous avons adopté une démarche habituelle en théorie analytique des nombres en transformant le problème initial concernant la somme de chiffres en une estimation de sommes d'exponentielles voir la figure. Pour prouver le théorème, il nous fallait estimer un terme d'erreur qui fait intervenir ces sommes d'exponentielles. Un premier traitement consiste à remplacer une somme d'exponentielle qui porte uniquement sur les nombres premiers en une somme double d'exponentielles qui porte sur des produits de nombres entiers que l'on peut estimer. Un second traitement permet de réduire cette estimation à un problème de transformée de Fourier une méthode de décomposition des fonctions : cela consiste à estimer de manière très précise les moyennes des valeurs absolues des « coefficients de Fourier » des nombres qui interviennent dans cette décomposition.

Cette méthode est-elle généralisable à des problèmes plus difficiles ?

C.M.-J.R. Toutes les propriétés sur les chiffres des nombres, qu'ils soient premiers ou non, s'inscrivent dans le contexte plus général des suites automatiques. Une suite automatique est une suite de nombres entiers pour laquelle il existe un algorithme simple - un automate fini - qui permet de savoir si un entier donné appartient à cette suite ou pas. Dans notre cas, les suites automatiques concernées sont les deux suites constituées des nombres entiers dont la somme des chiffres est paire ou impaire. Rechercher des nombres premiers dans les suites automatiques reste un problème ouvert, mais notre résultat constitue un premier pas dans cette direction.

Par Propos recueillis par Philippe Pajot

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